Etude de la loi (fonction) Bêta d'Euler ~ InfoMathSup

Etude de la loi (fonction) Bêta d'Euler

La fonction bêta :

$B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

Cette fonction vérifie plusieurs propriétés intéressantes:

$B(a,b)=B(b,a)$ (1)

$B(a+1,b)=\int_{0}^{1}x^a(1-x)^bdx =\frac{a}{b}\int_{0}^1x^{a-1}(1-x)^bdx =\frac{a}{b}B(a,b+1)$
Donc,
$B(a+1,b)=\frac{a}{b}B(a,b+1)$ (2)

$B(a+1,b)+B(a,b+1)=\int_0^1x^{a}(1-x)^{b-1}dx+\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b}dx =\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}(x+(1-x))dx =\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx =B(a,b)$

$B(a+1,b)+B(a,b+1)=B(a,b)$ (3)

Loi Bêta:

$f(X)=\frac{1}{B(a,b)}\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$

Espérance Mathématiques :

$E(X)=\frac{1}{B(a,b)}\int_0^1x.x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx=\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}$
Comme
$B( a, b+1) = B(b+1,a)$
Et
$B(b+1,a)=\frac{b}{a}B(b,a+1)=\frac{b}{a}B(a+1,b)$
Donc d'après (2) et (3) on a :

$B(a,b)=B(a+1,b)+B(a,b+1)$

$=B(a+1,b)+\frac{b}{a}B(a+1,b)$

$=\frac{a+b}{a}B(a+1,b)$

Alors,

$\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}=\frac{a}{a+b}$ (4)
Par conséquent

$\frac{B(a+1,b)}{B(a,b)}=\frac{a}{a+b}$
Alors,

$E(X)=\frac{a}{a+b}$

2. Variance :

$Var(X)=E(X^2)-E(X)^2$ (5)

Calculons d'abord, $E(X^2)$

On a
$E(X^2)=\frac{B(a+2,b)}{B(a,b)}$
Or d'après (2)
$B(a+2,b)=B((a+1)+1,b)=\frac{a+1}{b}B(a+1,b+1)$
Et via la formule (4) qui est d'ailleurs symétrique on obtient :

$B(a+1,b+1)=B(\alpha ,b+1)=\frac{b}{\alpha +b}B(\alpha ,b) =\frac{b}{a+b+1}B(a+1,b)$