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Etude de la loi (fonction) Bêta d'Euler




Etude de la loi (fonction) Bêta d'Euler



  • La fonction bêta :


                   


Cette fonction vérifie plusieurs propriétés intéressantes:

                                                        (1)   
  
  Donc,
                                                       (2)
  

                  (3)


  • Loi Bêta:
  
  
  1. Espérance Mathématiques :
   
   Comme
                  
   Et
     
  Donc d'après (2) et (3) on a :
    
 
 

 Alors,
                                                                  (4)
 Par conséquent
    
            
 Alors,  
      
  2. Variance :
    
   
                              
      (5)
   Calculons d'abord,   
    
    On a
                                                       
     Or d'après (2)
                
   Et via la formule (4) qui est d'ailleurs symétrique on obtient :
   Finalement
         
                              
                         
  En remplaçant  et     dans (5) on aura :

 

3.Estimation par la méthode des moments:
   
  Pour simplifier les calculs notons,
                                                                           

 Cherchons à estimer a et b par la méthode dite des moments
 Nous avons :
                                                          (6)
                         ;        
  Donc
 
  Un calcul simple donne
  D'où   
                                                                                 (7)
  Et d'après   (6) et (7) on en déduit un estimateur de b:
         
                             
                           
  Où encore,
                             

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