Etude de la loi (fonction) Bêta d'Euler

Etude de la loi (fonction) Bêta d'Euler

• La fonction bêta :

                   

Cette fonction vérifie plusieurs propriétés intéressantes:

                                                        (1)   

  
  Donc,
                                                       (2)

  

                  (3)

• Loi Bêta:

  
  

1. Espérance Mathématiques :

   
   Comme
                  
   Et
     
  Donc d'après (2) et (3) on a :

    

 

 

 Alors,

                                                                  (4)
 Par conséquent
    

            
 Alors,  

      

  2. Variance :

    

   

                              

      (5)

   Calculons d'abord,   

    

    On a
                                                       
     Or d'après (2)
                
   Et via la formule (4) qui est d'ailleurs symétrique on obtient :

   Finalement

         

                              

                         
  En remplaçant  et     dans (5) on aura :

 

3.Estimation par la méthode des moments:

   

  Pour simplifier les calculs notons,

                                                                           

 Cherchons à estimer a et b par la méthode dite des moments
 Nous avons :

                                                          (6)
                         ;        
  Donc

 

  Un calcul simple donne

  D'où   

                                                                                 (7)
  Et d'après   (6) et (7) on en déduit un estimateur de b:
         
                             

                           
  Où encore,
                             

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Eléments finis sur Matlab, comparaison de la solution approchée et l'exacte.

Modélisation Maths

Modélisation et le code: ici



Code
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N=15;
h=2/(N+1);
A=zeros(N,N);
b=zeros(N,1);
syms t real
w0=1-t;
w1=t;
f(t)=(-4*t^2-6)*exp(t^2);
Uexa(t)=(t^2-1)*exp(t^2);
m0=int(w0^2,0,1);
m1=int(w1^2,0,1);
m2=int(diff(w0)^2,0,1);
m3=int(diff(w1)^2,0,1);
m4=int(w1*w0,0,1);
m5=int(diff(w1)*diff(w0),0,1);
for i=1:N+2
 x(i)=(i-1)*h-1;
 ue(i)=Uexa(x(i));
end
for i=2:N
 g1=f(h*t+x(i-1));
 g2=f(h*t+x(i));
 A(1,1)=(1/h)*(m3+m2)+h*(m1+m0);
 A(i,i)=(1/h)*(m3+m2)+6*h*(m1+m0);
 A(i-1,i)=(1/h)*m5+6*h*m0;
 A(i,i-1)=(1/h)*m5+6*h*m4;
 b(1)=h*int(g1*w1,0,1)+h*int(g2*w0,0,1);
 b(i)=h*int(g1*w1,0,1)+h*int(g2*w0,0,1);
end
U=inv(A)*b;
S=[0;U;0];
plot(x,S,'r-d',x,ue,'b-d');
legend('par elem.fini','s.exacte');

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Différence fini sur Matlab, comparaison de la solution approchée et l'exacte.

Code Matlab:
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close
clear all
clc
 N=15;
 h=2/(N+1);
 A=zeros(N,N);
 B=zeros(N,1);
 syms t real
 Uexa(t)=(t^2-1)*exp(t^2); %solution exacte
 f(t)=(-4*t^4-6)*exp(t^2);
for i=1:N+2
x(i)=(i-1)*h-1;
 Ue(i)=Uexa(x(i));
end
for i=2:N
A(1,1)=-(2+6*h^2); A(i,i)=-(2+6*h^2);  %Remplir la matrice A
A(i-1,i)=1;
 A(i,i-1)=1;
B(1)=-h^2*f(x(i));
B(i)=-h^2*f(x(i));
 end
V=inv(A)*B;
Uap=[0;V;0]; % solution approchée par D.fini
plot(x,Uap,’r-*’,x,Ue,’b-d’)
legend(‘D.fini’,’sol.exact’)

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